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@Matias Hola Mati! Exactoooo, porque está en el denominador :)
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graciasss, estoy dando todo 🥹
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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
f) $f(x)=x \sqrt{9-x}$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
f) $f(x)=x \sqrt{9-x}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=x \sqrt{9-x}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso tenemos una restricción, aparece una raíz cuadrada. Tenemos que pedir que lo de adentro de la raíz sea mayor o igual a cero, es decir, $9-x \geq 0$. Esto es equivalente a pedir que $x\leq 9$
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Por lo tanto el dominio de $f$ es $(-\infty, 9]$
$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $(-\infty, 9]$, no hay candidatos a asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $-\infty$ (por el dominio de $f$, tomar límite a $+\infty$ no tiene sentido)
$ \lim_{x \to -\infty} x \sqrt{9-x} = -\infty $ (no te olvides, regla de signos!)
Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en $-\infty$ nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.
- Asíntotas oblicuas: Probá de calcular $m$ y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua.
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
Si derivamos $f$ aplicando la regla del producto, deberías llegar a:
$ f'(x) = \sqrt{9-x} - \frac{x}{2\sqrt{9-x}} $
Atenti con ese signo "menos", te aparece por la regla de la cadena (cuando derivás lo de adentro de la raíz de la cuadrada) ;)
Fijate además que el dominio de $f'(x)$ no incluye a $x = 9$... y si estaba en el dominio de $f$! Por lo tanto, $x = 9$ es candidato a máximo o mínimo.
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$ \sqrt{9-x} - \frac{x}{2\sqrt{9-x}} = 0 $
$ \sqrt{9-x} = \frac{x}{2\sqrt{9-x}} $
$ 2 (9-x)= x$
$18 - 3x = 0$
$x = 6$
Por lo tanto, $x=6$ también es punto crítico
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( -\infty < x < 6 \)
b) \( 6 < x \leq 9 \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
a) Para \( x < 6 \), podemos tomar \( x = 0 \):
$ f'(0) = 3 > 0 $
En este intervalo, \( f \) es creciente
b) Para \( x > 6 \), elegimos \( x = 8 \):
$ f'(8) = -3 < 0 $
En este intervalo, \( f \) es decreciente
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.
![2024-02-07%2017:45:56_2341887.png](https://exapuni.s3.sa-east-1.amazonaws.com/img_practices/2024-02-07%2017:45:56_2341887.png)
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Matias
29 de abril 0:06
flor, a f prima no le pertenece el 9 xq hiciste que 2.(9-x)^1/2 sea distinto a 0?
![](/img/profile-pictures/user-63225.jpg)
Flor
PROFE
29 de abril 10:41
Qué bueno que ya vas por esta guia! Pilas esta última semanaaa 💪
![](/img/profile.png)
Matias
29 de abril 12:31